PENDIDIKAN MATEMATIKA: Suku Banyak

Suku Banyak

Suku banyak atau polinominal merupakan pernyataan matematika yang melibatkan penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variable dengan koefisien. Bisa dibilang polinominal merupakan bentuk aljabar dengan pangkat peubah bilangan bulat positif. Suku banyak dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0$

$a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, a-2, a_1$ dan $a_0$ adalah konstanta real
$a_n$ koefisien $x^n,a_{n-1}$ koefisien $x^{n-1},a_1$ koefisien $x^1$ dan seterusnya
$a_0$ disebut suku tetap
n bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak

NILAI SUKU BANYAK

Suku banyak dalam x berderajat n dapat ditulis dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

$f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0$

Nilai $f(x)$ untuk $x = k$ adalah $f(k)$ . Nilainya dapat ditentukan dengan dua strategi, yaitu:

Substitusi

Misalkan nilai $f(x) = x^5 - 2x^4 +3x^3 + 4x^2 - 10x^1 + 3$ untuk $x = -2$ dengan $k \epsilon R$ dapat ditentukan dengan mensubstitusi menjadi: $f(-2) = (-2)^5 - 2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 10(-2)^1 + 3$ $f(-2) = -32 - 32 - 24 + 16 + 20 + 3$ $f(-2) = -49$

Skema (bagan)

Misalkan $f(x) = x^4 - 4x^2 - 7x^1 - 60$ untuk $x = 5$ . Yang pertama dilakukan adalah mengurutkan penulisan kiri ke kanan mulai dari pangkat tertinggi. Yang ditulis dalam bagan adalah koefisien dari masing-masing derajat suku banyak.

Tanda(“↓”) menunjukan penjumlahan baris 1 dan baris 2 yang menghasilkan baris hasil. Tanda (“

”) menunjukan perkalian baris hasil dengan $x = 5$ dan menghasilkan baris 2. Dari cara ini diperoleh $f(5) = 500$ .

Jika $f(x)$ dan $g(x)$ berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, dengan $m > n$ maka operasinya:

$f(x) \pm g(x)$ mempunyai derajat maksimum m
$f(x) \times g(x)$ mempunyai derajat $(m+n)$

PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Misalkan $f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ dibagi dengan $(x - k)$ memberikan hasil bagi $H(x)$ dan sisa pembagian S, diperoleh hubungan:

$f(x) = (x - k) \times H(x) + S$

Untuk mendapat hasil bagi $H(x)$ dan sisa S digunakan 2 metode yaitu:

Pembagian Bersusun

Pembagian dengan cara bersusun (biasa) sebagai berikut:

Pembagian Sintetik (Horner)

Pembagian dengan cara ini menggunakan bagan seperti berikut:

Berdasarkan kedua penyelesaian tersebut, didapat hasil pembagian $H(x) = a_2x + a_2k + a_1$ dan sisa pembagian $S = a_2k^2 + a_1k + a_0$ .

Pembagian dengan $(ax + b)$

Misalkan $k = -\frac{b}{a}$ , sehingga bentuk $(x - k)$ menjadi $(x + \frac{b}{a})$ . Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x + \frac{b}{a})$ memberikan hasil $H(x)$ dan sisa S, maka terdapat hubungan:

$f(x) = (x + \frac{b}{a}) \times H(x) + S = (ax + b) \times (\frac{H(x)}{a}) + S$

Dengan demikian $f(x)$ dibagi dengan $(ax + b)$ memberikan hasil bagi $\frac{H(x)}{a}$ dan sisa S. Koefisien-koefisien $\frac{H(x)}{a}$ dan S ditentukan dengan dua jenis cara pembagian sebelumnya dengan mengganti $k = -\frac{a}{b}$ .

Pembagian dengan $(ax^2 + bx + c)$

Pembagian suku banyak $f(x)$ oleh pembagi dalam bentuk $(ax^2 + bx + c)$ yang tidak bisa difaktorkan, dapat dilakukan dengan metode pembagian bersusun. Sedangkan jika pembagi dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan metode horner. Bentuk umum pembagian ini:

$f(x) = (ax^2 + bx + c) \times H(x) + S$

Misalkan $(ax^2 + bx + c)$ dapat difaktorkan menjadi $P_1$ dan $P_2$ sehingga $(ax^2 + bx + c) = P_1.P2$ , maka:

$f(x) = P_1 \times P_2 \times H(x) + S$

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:

Melakukan pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $P_1$ dengan hasil $H_0(x)$ dan sisanya $S_1$ .
Kemudian melakukan pembagian $H_0(x)$ oleh $P_2$ dengan hasil $H(x)$ dan sisanya $S_2$ .
Hasil bagi $f(x)$ oleh $(P_1 \times P_2)$ adalah $H(x)$ sedangkan sisanya $S(x) = P_1 \times S_2 + S_1$ . Ingat jika $P_1$ atau $P_2$ membentuk $(ax + b)$ , perlu untuk membagi $H(x)$ atau $H_0(x)$ dengan a untuk mendapatkan hasil baginya.

TEOREMA SISA

Misalkan $f(x)$ dibagi $P(x)$ dengan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $H(x$ , maka diperoleh hubungan:

$f(x) = P(x) \times H(x) + S(x)$

Jika $f(x)$ berderajat n dan $P(x)$ pembagi berderajat m, dengan $m \le n$ , maka:

$H(x)$ berderajat $(n - m)$
$S(x)$ berderajat maksimum $(m - 1)$

Teorema untuk sisa adalah:

Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dengan $(x - k)$ maka sisanya $S = f(k)$ . Sisa $f(k)$ adalah nilai suku banyak untuk $x = k$ .
Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dengan $(ax + b)$ maka sisanya $S = f(-\frac{b}{a})$ . Sisa $f(-\frac{b}{a})$ adalah nilai untuk $x = -\frac{b}{a}$ .
Pembagi berderajat $m \ge 2$ yang dapat difaktorkan maka sisanya berderajat $(m - 1)$ .

Contoh, polinominal $8x^3 - 2x + 5$ dibagi dengan $x + 2$ memiliki sisa (S) berikut

$S = f(k) = 8x^3 - 2x + 5$

$S = f(-2) = 8(-2)^3 - 2(-2)^2 + 5$

$S = -67$

Teorema Faktor

Misalkan $f(x)$ adalah sebuah suku banyak dengan $(x - k)$ adalah faktornya jika dan hanya jika $f(x) = 0$ . Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut:

Jika $(x - k)$ faktor dari $f(x)$ , maka $f(x) = 0$ .
Jika $f(k) = 0$ , maka $(x - k)$ merupakan faktor dari $f(x)$ .

Contoh, menentukan faktor-faktor dari $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ . Konstanta $-6$ memiliki faktor-faktor yang terdiri dari $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ . Dengan metode bagan di atas atau metode substitusi bisa diketahui nilai agar $f(x) = 0$ .

$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0$ (faktor)

$f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = -8$ (bukan faktor)

$f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 0$ (faktor)

$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 0$ (faktor)

Sehingga faktor-faktornya adalah $(x+1)$ , $(x - 2)$ , dan $(x + 3)$ .

AKAR-AKAR PERSAMAAN SUKU BANYAK

$(x - k)$ adalah faktor dari $f(x)$ jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan $f(x) = 0$ .

Jika $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x^1 + a_0$ dengan p≠0 adalah nilai nol dari f(x) maka p adalah pembagi $a_0$ .

Jika $f(x)$ memiliki akar $\frac{p}{q}$ (pecahan murni) dengan $q \ne 0$ , maka p adalah pembagi $a_0$ dan q adalah pembagi $a_n$ .

Sifat-sifat akar suku banyak:

1. Persamaan kuadrat

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ , maka

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1.x_2 = \frac{c}{a}$

2. Persamaan pangkat tiga

Jika $x_1,x_2$ dan $x_3$ adalah akar persamaan $ax^3 + bx^3 + cx + d = 0$ , maka:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
$x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a}$
$x_1.x_2.x_3 = -\frac{d}{a}$

3. Persamaan pangkat empat

Jika $x_1,x_2,x_3$ dan $x_4$ adalah akar persamaan $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ , maka:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$
$x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 = \frac{c}{a}$
$x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_2.x_3.x_4 = -\frac{d}{a}$
$x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a}$

CONTOH SOAL SUKU BANYAK DAN PEMBAHASAN

Contoh Soal 1: Teorema Sisa

Suku banyak $f(x) = 2x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0$ dan $g(x) = 2x^3 + x^2 + 2x + a = 0$ dibagi dengan $2x - 3$ masing-masing menghasilkan sisa yang sama. Tentukan nilai a.