Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang $0^{\circ}$ sampai dengan $360^{\circ}$ atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sebagai berikut:

1. Sinus

Jika $\sin px = \sin a$ dengan p dan a dalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}$

$x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B$

$x_2 k \times 120, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B$

k = 0 $\rightarrow x_1$ = 60 atau $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1$ = 180 atau $\rightarrow x_2$ = 120

k = 2 $\rightarrow x_1$ = 300 atau $\rightarrow x_2$ = 240

k = 3 $\rightarrow x_2$ = 360

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

Dalam bentuk radian:

$x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}$

$x_2 = \frac{(\pi - a)}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}$

Sebagai contoh:

$\sin 3x$ = 0

Maka:

$\sin 3x = \sin \pi$

$x_1 = \frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B$

$x_2 = \frac{(\pi - \pi)}{3} + k \times \frac{2\pi}{3} = k \times \frac{2\pi}{3},k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$\frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}\cup k\times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3}$ atau x_2 $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3}+ \frac{2\pi}{3} = \pi$ atau $x_2 = \frac{2\pi}{3}$

k = 2 $\rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ atau $x_2 = \frac{ \pi}{3}$

k = 3 $\rightarrow x_2 = 2\pi$

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(0,\frac{\pi}{3}, \pi , \frac{4\pi}{3} , \frac{5\pi}{3} , 2\pi)$

2. Cosinus

Jika $\cos px = \cos a$ dengan p dan α adalah konstanta, maka:

Dalam bentuk derajat:

$x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$

Sehingga:

$2x - 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

$2x = 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

Diperoleh:

$x_1 = 45^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$x_2 = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$45^{\circ} + k \times 180^{\circ}\cup 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = 45^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x_1 = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 180^{\circ} = 225^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 115^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(156{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}, 225^{\circ})$

Dalam bentuk radian:

$x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (2\pi)}{p}$

Sebagai contoh:

$2 \cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0,0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0$

$\cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\cos (2x - \frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{6})$

Sehingga:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi$

$2x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi$

Diperoleh:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + k \times \pi ,k \epsilon B$

$x_1 = \frac{\pi}{12} + k \times \pi ,k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$\frac{\pi}{4} + k \times \pi \cup \frac{\pi}{12} + k \times \pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4}$ atau x_2= $x_2 = \frac{\pi}{4}$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5}{4}\pi$ atau $x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13}{12}\pi$

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(\frac{\pi}{12} , \frac{\pi}{4} ,\frac{13\pi}{12} ,\frac{5\pi}{4})$

3. Tangen

Jika⁡ $\tan px = \tan a$ dengan p dan a adalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$\tan(x - 45^{\circ}) = \cot 90^{\circ}, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\tan (x - 45^{\circ}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\tan (x - 45^{\circ} = \tan 30^{\circ})$

Sehingga:

$x - 45^{\circ} = 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 45^{\circ} + 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ} , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(75^{\circ}, 225^{circ})$

Dalam bentuk radian:

$x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (\pi)}{p}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k \times \pi$

$x = \frac{5\pi}{12} + k \times \pi$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$x = \frac{5\pi}{12} + k\pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = \frac{5\pi}{12}$

$k = 1 \rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(\frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$

PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan trigonometri dapat memuat jumlah atau selisih dari sinus atau kosinus. Untuk penyelesaiaannya dapat diubah menjadi bentuk persamaan yang memuat perkalian sinus atau kosinus. Begitu juga jika dihadapkan dengan kasus sebaliknya.

Persamaan trigonometri untuk beberapa kasus dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat yang memuat sinus, kosinus, atau tangen. Penyelesaiannya didapat dengan metode faktorisasi.

Ada persamaan trigonometri dalam bentuk $a \cos x + b \sin x = c$ yang dapat diselesaikan dengan cara berikut:

$a \cos x + b \sin x = c$ (kedua ruas dibagi a)

$\cos x + \frac{b}{a} \sin x = \frac{c}{a}$

Misalkan $\tan a = \frac{b}{a}$ , maka:

$\cos x + \tan a \sin x = \frac{c}{a}$ (kedua ruas dikali $\cos a$ )

$\cos(x - a) = \cos a(\frac{c}{a})$

Karena $\tan a = \frac{b}{a}$ , maka

Sebagai contoh:

$\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \cot\frac{\pi}{2}, 0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{6}$

Sehingga:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k \times \pi$

$\cos (a) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Sehingga,

$\cos(x - a) = (\frac{c}{a})(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}) = \frac{c}{\sqrt{a^2+ b^2}}$

CONTOH SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI DAN PEMBAHASAN

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

$\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Pembahasaan:

$\sin 3x = \cos 2x$

$\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)$

Sehingga,

$3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})$

$5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})$ (kedua ruas dibagi 5)

$x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})$

Atau,

$3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})$

$3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})$

$x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ}$ atau $x = 90^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}$

$K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}$

$k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})$

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

$\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan

$\sin (x+\frac{\pi}{4})$

Dibuat kedalam bentuk

$2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)$

Dengan

$(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Menjadikan

$\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0$

Sehingga

$(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)$

$2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)$

$x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)$

atau

$(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)$

$2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)$

$x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}$

$k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}$

$\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}$

$k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}$

Himpunan penyelesaiannya adalah:

$(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})$

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0;$

$(1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0$

$4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0$

$2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0$

$(2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0$

Didapat,

Akar 1:

$2\sin 2x - 1 = 0$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$ (bisa)

Akar 2:

$\sin 2x - 3 = 0$

$\sin 2x = 3$ (tidak bisa)

Sehingga,

$\sin 2x = \frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$

$2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi$

$x_1 = \frac{\pi}{12}+ k \cdot \pi$

Atau,

$2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi$

$x_2 = \frac{5\pi}{12}+k \cdot \pi$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{12}$

$\rightarrow = \frac{5\pi}{12}$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{13\pi}{12}$

$\rightarrow x_2 = \frac{17\pi}{12}$

Himpunan penyelesaiannya adalah:

$(\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})$

UNIVERSITAS PATTIMURA

PENDIDIKAN MATEMATIKA

Selasa, 01 Desember 2020